Die optimale Bierdose oder wie der Hersteller 11 % Blech einsparen könnte

Die optimale Dose - ein Extremwertproblem

 Aber der Körper mit der „geringsten“ Oberfläche (im Vergleich zu seinem Volumen) ist die Kugel. Deshalb sind Seifenblasen rund und nicht eckig!

Je mehr ein Körper von dieser idealen Kugelform abweicht, desto schlechter ist das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen. „eine lange Dünne“ hat also –bei gleichem Volumen- mehr Oberfläche als „eine kurze Dicke“.

Das ist gerade umgekehrt wie im Gedicht „Ideal und Wirklichkeit“ von Kurt Tucholsky: „Man möchte immer eine große Lange, und dann bekommt man eine kleine Dicke – c’est la vie - !“

Bei der Herstellung einer Dose geht es darum, mit möglichst wenig Blech viel Flüssigkeit zu umhüllen.

Dies wird bei einer extremen Betrachtung besonders klar:

Nehmen wir einmal an, die Halbliter-Dose soll nur 3 cm Durchmesser haben. Dann müsste sie (bei 500 ml Inhalt) 70 cm hoch sein. Und ihre Oberfläche wäre dann 680 cm². Das wäre fast doppelt so viel wie die ca. 400 cm² der Normal-Dose!

Wenn man die Dose aber ganz flach macht, z.B. nur 1,6 cm hoch, dann müsste sie (bei 500 ml Inhalt) 20 cm Durchmesser haben. Und ihre Oberfläche wäre 728 cm². Die ganz flache Dose wäre also ebenso ungünstig wie die ganz schlanke Dose.

Wo aber liegt das optimale Verhältnis von Durchmesser zu Höhe?

Intuitiv sollte sie möglichst an die erwähnte optimale Kugelform heranreichen; also wahrscheinlich genau so dick wie hoch sein.

Doch wie kann man das beweisen?

Dafür müssen wir eine Extremwert-Betrachtung durchführen. Aus dem Mathe-Unterricht unserer Gymnasialzeit haben wir das (vielleicht noch??) auch als Maximum-/Minimum-Aufgabe in Erinnerung.

Dabei muss eine Formel „abgeleitet (differenziert)“ werden und diese Ableitung dann „gleich NULL“ gesetzt werden.

So nach dem Motto: y = ax² + bx + c

Nach dem Differenzieren dy nach dx wird  y’ = 2ax +b

Danach wird  y’ = 0 gesetzt; und es resultiert x = -b/2a

Hier ist der mathematische Vorgang:

·       Kurz gefasst lautet die Aufgabe: Welchen Durchmesser und welche Höhe muss man für den Dosenzylinder wählen, damit die Dose ein Volumen von 0,5 l fasst und die Oberfläche (das ist der Materialverbrauch) möglichst klein wird.

·       Dabei handelt es sich um ein Extremwertproblem mit Hauptbedingung (= die Oberfläche soll minimal werden) mit einer Nebenbedingung (= das Volumen beträgt 0,5 l = 500 cm³).

·       Bei derartigen Problemen muss man zunächst sowohl Haupt- als auch Nebenbedingung als Gleichung aufstellen. In diesem Fall sind Durchmesser d des Zylinderkreises und Höhe h des Zylinders die beiden Unbekannten (die wir berechnen wollen).

·       Die Formeln für das Volumen V und die Oberfläche F eines Zylinders kann man in der Formelsammlung nachschauen. Zu beachten ist, dass die Oberfläche eines Zylinders aus den beiden Kreisen und einem Rechteck (dem Zylindermantel) besteht.

·       Es gilt V = ¶/4  _* d² _* h = 500 cm³ als Nebenbedingung und F =  ¶/2  _*  d² +  ¶ _* d _*  h als Hauptbedingung, die minimal werden soll. Die Hauptbedingung enthält zunächst noch die beiden Unbekannten d und h. Aus der Nebenbedingung kann man nun eine der beiden Unbekannten (h bietet sich an, da einfacher zu rechnen) separieren und in die Hauptbedingung einsetzen. Das Verfahren ähnelt dem Einsetzen bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

·       Man erhält h = 2000/(¶ _* d²) (die cm³ seien für die weitere Rechnung weggelassen; das Ergebnis errechnet sich dann in der Einheit "cm") und setzt dies in die Oberfläche F ein.

·       F (d) = ½ _*  ¶ _* d² +  ¶ _*  d _* (2000/¶ d²) =  ¶/2 _*  d² + 2000/d.  Das heißt, die Oberfläche der Dose hängt nun nur noch vom Durchmesser d ab. 

·       Gemäß der Aufgabe soll die Oberfläche minimal werden, Wir suchen also einen Extremwert dieser Funktion.

·       Dafür leitet man F(d) nach der Variablen d ab und setzt die Ableitung gleich Null.

·       Man berechnet F'(d) = ¶ d - 2000/d² (die Ableitung von 1/d kann man in der Formelsammlung nachsehen, falls man diese nicht mehr weiß).

·       Für ein Extremum gilt: ¶ d - 2000/d² = 0.

·       Hieraus berechnet man d³ = 2000/¶ und d = 8,6 cm. Die Minimaldose hat also einen Durchmesser von knapp 9 cm.

·       Die Höhe h der Dose berechnet man nun aus der Nebenbedingung (vgl. Punkt 6) zu h = 8,6 cm. Durchmesser und Höhe stimmen also überein.

Die 500 ml - Bierdose mit der allergeringsten Oberfläche wäre eine Kugel mit 9,85 cm Durchmesser. Sie hätte eine Oberfläche von 305 cm². Der Unterschied zu der „quadratischen“ Dose mit 348 cm² Oberfläche ist nicht mehr gravierend. Von der Schwierigkeit der Herstellung und der schlechteren Stapelfähigkeit ganz zu schweigen“

Natürlich gilt diese Überlegung ohne Berücksichtigung der Falze. Doch dies ist eine andere Geschichte!